(1)
Das CPT-Theorem ist eine der fundamentalsten Regeln der Teilchenphysik. Es beschäftigt sich mit den drei voneinander unabhängigen Transformationen
Die Teilchenphysik geht davon aus, daß jedes Teilchen ein korrespondierendes Antiteilchen mit selber Masse aber entgegengesetztem Ladungsvorzeichen besitzt. Allerdings müssen bestimmte Unsymmetrien zwischen ihnen auftreten, da das uns bekannte Universum aus Materie besteht. Diese sind bis jetzt nicht verstanden worden. Deswegen ist ein exaktes Vertändnis der Natur der Unsymmetrien, falls sie existieren, sehr wichtig für das Verständnis unseres Universums. Mit den Symmetrien von Teilchen beschäftigt sich das CPT-Theorem.
Nur Experimente können entscheiden, ob ein Naturgesetz invariant gegenüber P,C,T-Konjugationen sind. Nachfolgende Tabelle zeigt, welche Wechselwirkungen zu welchen Symmetrieeigenschaften führen. Auffällig dabei ist, daß schwache Wechselwirkungen unter weniger Symmetrieopertatoren invariant sind. Die weiter unten durchgeführten Berechnungen (s. explizite Berechnung) beziehen sich auf eine el.-magn. Wechselwirkung.
| WW | C | P | T,PC | PCT |
| stark |
+ |
+ |
+ |
+ |
| e-m |
+ |
+ |
+ |
+ |
| schwach |
- |
- |
+ |
+ |
| K0-Zerfall |
- |
- |
- |
+ |
Die Lorentztransformation (LT) vermittelt zwischen zwei Inertialsystemen. Die Koordinaten transformieren sich nach ihr wie
(1)
Es gilt hier die Einstein’sche Summationskonvention. Die Matrix 
hängt
nur von der räumlichen Orientierung und der relativen Geschwindigkeit
der Inertialsysteme ab.
Zu unterscheiden sind zwei Arten der Lorentztransformation:
Eigentliche LT:
(2a)
Uneigentliche LT:
(2b)
Während die eigentliche LT durch aneinandergesetzte infinitesimale Drehungen erzeugt werden kann, ist dies bei der uneigentlichen LT nicht möglich.
Die Kovarianz beschreibt die Forderung, daß in zwei betrachteten Inertialsystemen die selben physikalischen Gesetze gelten müssen (Relativitätsprinzip).
Ein Beobachter B soll aus einem
des
Beobachters A sein eigenes
berechnen
können, wobei 
denselben
Zustand wie
beschreiben
soll. Beide Zustände sollen die Lösungen von Diracgleichungen
sein, die die selbe Form haben:
(3a)
(3b)
Die Unterscheidung zwischen 
und
kann
fallen gelassen werden, da beide bis auf eine unitäre Transformation
gleich sind und unitäre Transformationen die Physik, d.h. das Bracket
eines Zustandes, nicht verändern,
Gesucht wird jetzt eine Transformation, die zwischen
und
vermitteln soll,
(4)
Aus dem Relativitätsprinzip (d.h. alle Inertialsysteme sind gleichwertig)
folgt, daß auch die Umkehroperation
des
Transformationsoperators existieren muß,
(5)
Im Folgenden wollen wir
konstruieren.
Dazu ersetzen wir in der Diracgl. (3a) mit
der Relation (5) und multiplizieren das Ergebnis von rechts mit 
um
(6)
zu erhalten.
Mit der LT (1) folgt
(7)
Damit erhalten wir
(8)
Aus dem Vergleich von (3b) und (8) folgt (Beachte innere runde Klammer von (8)), daß
(9a)
ist, oder mit der Orthogonalitätsrelation
(10)
(9b)
was die Bestimmungsgl. fürist.
Die Raumspiegelung
(11)
ist eine uneigentliche Lorenztransformation. Die LT läßt sich leicht angeben:
(12)
Da auch diese Transformation eine LT ist, gelten die oben hergeleiteten
Beziehungen für die Spinortransformation 
(Paritätsoperator),
die mitidentisch
ist. Ziel ist es nun, zu
bestimmen. Dazu multiplizieren wir (9b) mit
und
benutzen die Orthogonalitätsrelation (10) und die Definition von g
(12) und erhalten
(13)
welches die einfach zu verifizierende Lösung
(14)
besitzt. Der Phasenfaktor fällt heraus, wenn der Erwartungswert
gebildet wird. Wird ein Spinor mit (14) in ein anderes Inertialsystem transformiert,
so heißt dieser paritätsinvariant. Die Paritätsinvarianz
läßt sich mit einem Spiegel veranschaulichen. Eine Kamera nimmt
von einem Objekt Spiegelbild auf. Zwar ist das Spiegelbild noch keine Raumspiegelung
des realen Objekts, doch läßt sich durch eine einfache Drehung
um
dies erreichen.
Wenn nicht zu unterscheiden ist, ob ein gezeigter Film mit einem Spiegel
aufgenommen wurde, wenn also auch das Spiegelbild physikalisch möglich
ist, liegt eine Paritätsinvarianz vor.
Hier liegt die Anschauung darin, daß ein Film, auf dem ein Objekt aufgenommen wurde, rückwärts abgespielt wird. Ist nicht zu entscheiden, ob es sich nicht doch um ein richtig ablaufenden Film handelt, so spricht man von einer Zeitspiegelungsinvarianz.
Die Zeitspiegelung invertiert nur die Zeit, läßt den Ort unverändert.
Der Zeitspiegelungsop.
wirkt
nur auf den Spinor, nicht auf die Orts- oder Zeitkoordinaten:
(15)
Der gestrichene Spinor beschreibt ein Dirac-Teilchen, daß sich rückwärts in der Zeit bewegt.
Diesmal gehen wir der Übersicht halber von der Dirac-Gl. in schrödinger’scher Form aus,
(16)
fügen die Indentität 
ein
und multiplizieren von rechts mit dem Zeitspiegelungsop., wobei wir uns
eine evtl. komplexe Konjugation vorenthalten:
(17)
Auf diese Gleichung wenden wir nun (15) an und drücken auch das Differenzial mit gestrichenen Koordinaten aus.
Da auch im gestrichen System die Dirac-Gl. in schrödinger’scher Form gelten soll,
(18)
ergibt sich durch Vergleich von (17) und (18)
(19a)
oder
(19b)
Gleichung (19a) scheidet aus, da in diesem Fall das Spektrum geändert werden würde, was physikalisch nicht erlaubt ist.
Um den Zeitspiegelungsop. zu konstruieren, benutzen wir eine explizite Form des Hamiltonoperators
(20)
Wenden wir den Zeitspiegelungsop. auf (20) an, so folgt mit (19b) die
Gl. (21):
Dabei wurde auch die Identität des Zeitspiegelungsoperators eingeschoben. Das Vektorpotential wird durch Ströme erzeugt, die bei der Zeitspiegelung ihr VZ ändern:
(22)
Das Coulomb-Potential
wird
durch Ladungen erzeugt und behält dadurch sein VZ bei. Das Nabla wirkt
ebenfalls nicht auf den Zeitumkehrungsoperator, so daß Gl. (21) zu
(23)
Wird diese Gleichung mit (20) verglichen, so ergeben sich die Relationen
(24)
Aus dem Zeitspiegelungsop. kann nun ein Operator separiert werden, der
die komplexe Konjugation durchführt. Die daraus erhaltenen Gleichungen
können nun vereinfacht werden, da die Matrizen 
entweder rein reell oder rein imaginär sind. Aus den Vertauschungsrelationen
für die Matrizenfolgt
dann die Form von dem Zeitspiegelungsop., von dem die k.k. absepariert
worden ist:
Bevor die C-Transformation behandelt wird, muß noch etwas über die Löcher-Theorie gesagt werden.
Aus der relativistischen Quantenmechanik ist bekannt, daß es auch Lösungen der Dirac-Gleichung mit negativer Energie gibt. Dieses Ergebnis ist ziemlich merkwürdig. Guckt man sich nämlich einmal die Energiezustände eines Atoms an, so stimmen die Energienievaus der gebundenen Zustände zu positiver Energie mit den Experimenten bezüglich der Spektren des Atoms überein. Da es die Energiezustände negativer Energie auch gibt, könnte ein Elektron, welches sich in einem positiven Energieniveau befindet durch Energieabtrahlung immer tiefer fallen und es könnte auch in die Zustände negativer Energie fallen. Dies würde bedeuten, daß das Atom ständig Energie emittieren würde und dies zu einer Strahlungskatastrophe führte. Dies ist natürlich nicht möglich. Um das auszuschließen, entwickelte Dirac eine neue Theorie. Er nahm an, daß alle Energiezustände negativer Energie mit Elektronen besetzt sind. Dies würde ein 'Runterfallen' eines Elektrons aus den positiven in die negativen Zustände verhindern, da sich nach dem Pauli-Prinzip die Elektronen in mindestens einer Quantenzahl unterscheiden müssen.
Sind die negativen Zustände (auch Dirac-See genannt)voll besetzt und fehlen die Elektronen in den Zuständen der positiven Energie, so spricht man vom Vakuumzustand.
Da der Dirac-See mit Elektronen besetzt ist, kann ein Elektron auch von außen Strahlung absorbieren und wenn die Energie groß genug ist (>2m0c2) kann das Elektron negativer Energie in einen Zustand positiver Energie übergehen. Das Elektron hinterläßt ein Loch. Das Loch äußert sich wie ein Teilchen mit entgegengesetzter Ladung zum jetzt reellen Elektron, da sich beide neutralisieren können. Das Loch ist also das Antiteilchen des Elektrons, das Positron.
Schießt man nun auf ein Vakuum eine genügend große Energie, so entsteht eine Elektron-Positron Paarerzeugung. Es kann auch durch Emission eines Photons ein Elektron aus den positiven Zuständen in ein Loch fallen. Dabei spricht man von einer Paarvernichtung.
Das Positron hat die gleiche Masse aber die entgegengesetzte Ladung wie das Elektron.
Die Existenz des Positrons ist im weiteren Verlauf wichtig.
Man kann nun eine Dirac-Gleichung mit elektromagnetischen Potential für das Positron (2) und für das Elektron (1) aufschreiben.
(1)
(2)
Es soll nun versucht werden, einen Operator zu finden, der die Lösung von Gleichung (1) und (2) verbindet. Man betrachtet zunächst Gleichung (1).
Um auf eine Gleichung der Form (2) zu kommen, muß das Vorzeichen
von 
geändert
werden. Dazu konjugiert man die Gleichung (1) zunächst einmal komplex.
Das Viererpotential Aµ ist reell, ändert sein Vorzeichen
also nicht. Das ‘i’ ändert sein Vorzeichen bei komplexer Konjugation
und man erhält, nachdem ein Minuszeichen ausgeklammert wurde:
(3)
Die Gleichung (3) entspricht fast Gleichung (2), bis auf die komplexe
Konjugation der Matrix 
und das
Vorzeichen von (m0c). Wir müssen also nun einen Operator,
der die Form 
haben soll, mit
folgender Eigenschaft finden:
(4)
Wendet man diesen Operator auf die Gleichung (3) an, erhält man:
(5)
Setzt man nun die Bedingung (4) in (5) ein so ergibt sich:
(6)
Man hat nun eine Transformation gefunden, die Gleichung (1) in Gleichung
(2) transformiert. Für 
gilt:
(7)
beschreibt
eine Positronenwellenfunktion. Die Aufgabe besteht jetzt darin, den Operator
C zu finden.
Schaut man sich die 4 Matrizen 
,
so kann man leicht folgende Relationen nachvollziehen:
(8)
und
(9)
Wendet man Gleichung (8) auf Gleichung (4) an indem in (4) noch die algebraische Matrixbeziehung (AB)-1 = B-1A-1 angewendet wird, ergibt sich
(10)
Durch Transposition wird aus dieser Gleichung
(11)
Beachtet man die Relationen in (9) und betrachtet Gleichung (11), so
kommt man zu dem Ergebnis, daß 
antikommutieren
muß. Eine Wahl für C mit diesen Forderungen ist
(12)
Für C gilt:
C = - CT (13)
Mit (C) ist nun eine Transformation gefunden worden, mit der man aus
einer Elektronenwellenfunktion eine Positronwellenfunktion erhalten kann.
Man kann also die Lösung von Gleichung (1) in die Lösung von
Gleichung (2) transformieren. Setzt man C in Gleichung (7) ein und beachtet,
daß 
die
Einheitsmatrix ergibt, folgt:
(14)
und
heißen zueinander ladungskonjugiert.
beschreibt die Bewegung eines Teilchens im Potential Aµ.
beschreibt die
Bewegung eines Teilchens mit derselbenMasse aber umgekehrter Ladung im
selben Potential.
Wendet man auf einen ladungskonjugierten Zustand wiederum eine C-Transformation
an, so erhält man den ursprünglichen Zustand wieder zurück:
.
Ein weiterer wichtiger Punkt sind die Erwartungswerte. Der Erwartungswert
eines Operators O im Zustand 
ist gegeben durch
(15)
Der Erwartungswert von O im Zustand 
ist
(16)
Rechnet man die Erwartungswerte explizit aus, erhält man unter anderem die Relationen zwischen dem Impuls und der Energie im Grundzustand und ladungskonjugiertem Zustand. Daraus folgt:
<p>c=- <p> (17)
und
<H(-e)>C= - <H(e)> (18)
Ladungskonjugation ändert also das Vorzeichen der Energie und des Impulses.
Es werden nun die drei Transformationen auf die Lösung der Dirac-Gleichung angewandt und es soll gezeigt werden, daß die freie Dirac-Gleichung invariant gegenüber der PCT-Transformation ist. Die drei Transformationen waren:
(19)
(20)
(21)
K ist die komplexe Konjugation. Der Zustand 
ist nun der Ausgangszustand ,
auf den die PCT-Transformation angewendet wird. Die Transformationen werden
nun nacheinander ausgeführt.
(22)
(23)
(24)
(25)
Wobei 
.
Sei 
eine Positronenwellenfunktion
mit positiver Energie, die sich vorwärts in Raum und Zeit bewegt,
so ist sie identisch mit einer Elektronenwellenfunktion mit negativer Energie
(durch Ladungskonjugation), die sich rückwärts in Raum und Zeit
bewegt. 
ist hierbei nur ein Faktor. Die freie Dirac-Gleichung ist also invariant
gegenüber einer PCT-Transformation.
Quelle: Greiner ; Relativistische Quantenmechanik