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Universität Oldenburg
FB Physik Seminar zur Quantenmechanik
Die Dirac-Gleichung

Matthias Müller-Wehlau e-mail:wehlau@uni-oldenburg.de
Frank Detering e-mail:detering@uni-oldenburg.de

WS96/97

Einleitung

Im folgenden Seminarbeitrag geht es um das relativistische Äquivalent zur Schrödinger-Gleichung, die Dirac-Gleichung. Im ersten Teil wollen wir den historischen Weg ihrer Herleitung nachvollziehen, während sich der zweite Abschnitt mit der Anwendung der Gleichung befaßt

Herleitung der Dirac-Gleichung

Forderungen an die gesuchte Gleichung

Grundidee der Dirac-Gleichung ist es, die Quantentheorie auf eine relativistiscche Basis zu stellen, also die relativistische Quantenmechanik in einer Lorentz-kovarianten Form zu formulieren. Beim Übergang zur relativistischen Quantenmechanik wollen wir einige Prinzipien der nichtrelativistischen Theorie beibehalten:
1.
Für ein gegebnenes physikalisches System existiert eine Zustandsfunktion $\phi\;$, die das System hinreichend beschreibt. Wir verwenden die Darstellung der Zustandsfunktion in Koordinaten, die Wellenfunktion $\Psi(q,s,t)\;$, wobei q die klassischen und s spezielle quantenmechanische Freiheitsgrade darstellt. Die positiv definite Quadratfunktion

\begin{displaymath}\vert{\Psi(q,s,t)\vert^2\geq0}
\end{displaymath} (1)

wird dabei als die Wahrscheinlichkeit interpretiert, daß das System zur Zeit t die Werte $q,\;s$ annimmt. Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten sei dabei endlich.
2.
Jeder physikalischen Observablen wird wird ein linearer hermitescher Operator zugeordnet. Beispiel: Der kanonische Impuls pi entspricht in Koordinatendarstellung

\begin{displaymath}p_{i}\to\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial q_{i}}
\end{displaymath} (2)

3.
Ein physikalisches System ist in einem Eigenzustand des Operators $ \Omega $, wenn gilt:

\begin{displaymath}\Omega\Psi_{n}=\omega\Psi_{n}
\end{displaymath} (3)

Dabei ist $ \Psi_{n} $ der n-te Eigenzustand, $\omega_{n}$ ist reel, wenn $ \Omega $ hermitesch ist.
4.
Entwicklungssatz: Eine beliebige Zustands-/ Wellenfunktion eines Systems ist nach einem vollständigen Orthonormalsatz von Eigenfunktionen eines vollständigen Satzes vertauschbarer Operatoren $\Omega_{n}\;$ zu entwickeln. Es gilt dann:

\begin{displaymath}\Psi=\sum_{n}a_{n}\Psi_{n}
\end{displaymath} (4)

mit der Orthonormalitätsbedingung

\begin{displaymath}\sum_{s}\int(dq_{1}....)\Psi_{n}^{*}(q_{1}...,s...,t)\Psi_{m}(q_{1}...,s...,
t)=\delta_{nm}
\end{displaymath} (5)

Dabei kann der Betrag von an2 als die Wahrscheinlichkeit interpretiert werden, daß sich das System im n-ten Eigenzustand befindet.
5.
Das Ergebnis der Messung einer physikalischen Observablen ist einer ihrer Eigenwerte. So ergibt die Messung der Observablen $ \Omega $ den Eigenwert $\omega_{n}$ mit der Wahrscheinlichkeit |an|2. Der Mittelwert über mehrere Messungen der Observablen $ \Omega $ an identischen Systemen ist gegeben durch:

\begin{displaymath}\langle\Omega\rangle_{\rm\Psi}=\sum_{s}\int(dq_{1}...)\Psi^{*}(q_{1}...,s...,t)\Omega\Psi(q_{1}...,s...,t)
\end{displaymath} (6)

6.
Die zeitliche Entwicklung eines physikalischen Systems gehorcht der Schrödinger-Gleichung

\begin{displaymath}i\hbar\partial_{t}\Psi=H\Psi
\end{displaymath} (7)

, wobei der Hamiltonoperator H linear und hermitesch ist. In einem abgeschlossenen System ist H nicht zeitabhängig, also $\partial_{t}H=0$, seine Eigenwerte sind dann die möglichen stationären Zustände des Systems. Aus der Hermitezität von H folgt ein Erhaltungssatz der Wahrscheinlichkeit:

\begin{displaymath}\frac{d}{dt}\sum_{s}\int\Psi\Psi^{*}(dq_{1}...)=\frac{i}{\hba...
...\int\lbrack(H\Psi)^{*}\Psi-\Psi^{*}(H\Psi)\rbrack(dq_{1}...)=0
\end{displaymath} (8)

Ansatz und die Klein-Gordon-Gleichung

Wir betrachten ein einfaches physikalisches System mit $H=\frac{p^{2}}{2m}$ eines freien Teilchens. Bei Übergang zur Quantenmechanik schreiben wir:

\begin{displaymath}H \to i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\; und\; \overline p\to\frac{\hbar}{i}\overline\nabla
\end{displaymath} (9)

Dadurch erhalten wir die nichtrelativistische Schrödinger-Gleichung:

 \begin{displaymath}i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(q,t)=\frac{-\hbar^{2}
\nabla^{2}}{2m}\Psi(q,t)
\end{displaymath} (10)

Diese Lösung ist jedoch nicht kovariant, die linken Seiten transformieren sich bei Lorentz-Transformation anders als die rechten. Der Ansatz eines nichtrelativistischen freien Teilchens führt nicht zum Ziel Nach der speziellen Relativitätstheorie transformiert sich die Gesamtenergie E und die Raumimpulse $ (p_{x},\;p_{y},\;p_{z}\;)$ als Komponenten eines kontravarianten Vierervektors

\begin{displaymath}p^{\mu}=(p^{0},p^{1},p^{2},p^{3})=\left(\frac{E}{c},p_{x},p_{y},p_{z}\right)
\end{displaymath} (11)

mit invarianter Länge

\begin{displaymath}p^{\mu}p_{\mu}=\frac{E^{2}}{c^{2}}-\overline p\cdot\overline p\equiv m^{2}c^{2}
\end{displaymath} (12)

Als Hamiltonoperator eines relativistischen Teilchens bietet sich daher an:

\begin{displaymath}H=\sqrt{p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}} \end{displaymath}

Damit erhalten wir ein relativistisches Analogon zu Gleichung 10:

\begin{displaymath}i\hbar\frac{\partial^{2}}{\partial^2 t}\Psi=\sqrt{-\hbar^{2}c^{2}\nabla^{2}+m^{2}c^{4}}\Psi \end{displaymath}

Diese Gleichung erfüllt zwar unsere Forderung nach Kovarianz, die Interpretation des Wurzelausdrucks auf der rechten Seite erweist sich aber als schwierig. Damit stellt diese Gleichung keine attraktive Version der Schrödinger-Gleichung dar. Zur Vereinfachung dieser Gleichung umgehen wir den Wurzeloperator indem wir schreiben

H2=p2c2+m2c4

Da $\left\lbrack\frac{\partial}{\partial t},\;H\right\rbrack=0$ erhalten wir

\begin{displaymath}-\hbar^{2}\frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}\Psi=(-\hbar^{2}\nabla^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}) \end{displaymath}


\begin{displaymath}\Leftrightarrow \left(\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial^2}{\partial t^2}-
\nabla^{2}+\left(\frac{mc}{\hbar}\right)^2\right)\Psi=0 \end{displaymath}


 \begin{displaymath}\Leftrightarrow \left\lbrack\Box +\left(\frac{mc}{\hbar}\right)^2\right\rbrack\Psi=0
\end{displaymath} (13)

mit

\begin{displaymath}\Box\equiv\frac{\partial}{\partial x_{\mu}}\frac{\partial}{\partial
x^{\mu}}=\nabla_{\mu}\nabla^{\mu}
\end{displaymath} (14)

Wir definieren $ x^{\mu}=(ct,\;\overline x)\:$ und $\nabla^{\mu}=\frac{\partial}{\partial x_{\mu}}$Wie man sieht, ähnelt Gleichung 13 der klassischen Wellengleichung. Diese Gleichung ist als Klein-Gordon-Gleichung bekannt. Wir wollen nun einen Strom konstruieren, für den der Erhaltungssatz gilt, da die K-G-Gleichung eine Wellengleichung 2. Ordnung ist und damit von der Form der Schrödinger-Gleichung abweicht. Es ist also nicht möglich, äquivalent zur Schrödinger-Gleichung eine Wahrscheinlichkeitsinterpretation anzugeben.
Zur Konstruktion eines Stroms multiplizieren wir Gleichung 13 mit $ \Psi^{*} $ und substrahieren davon das Produkt der komplex kunjugierten K-G-Gleichung und $ \Psi $.

\begin{displaymath}\Psi^{*}\left\lbrack\Box +\left(\frac{mc}{\hbar}\right)^2\rig...
...ack\Box+\left(\frac{mc}{\hbar}\right)^2\right\rbrack\Psi^{*}=0 \end{displaymath} (15)


\begin{displaymath}\Leftrightarrow \Psi^{*}\nabla^{\mu}\nabla_{\mu}\Psi + \Psi^{...
...mc}{\hbar}\right)^2\Psi+\Psi\nabla^{\mu}\nabla_{\mu}\Psi^{*}=0 \end{displaymath} (16)


\begin{displaymath}\Leftrightarrow \nabla^{\mu}\left(\Psi^{*}\nabla_{\mu}\Psi-\Psi\nabla_{\mu}\Psi^{*}\right)=0 \end{displaymath} (17)

oder anders formuliert:1

\begin{displaymath}\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{i\hbar}{2mc^2}\left(\P...
...Psi^{*}(\nabla\Psi)-\Psi(\nabla\Psi^{*})\right)\right\rbrack=0
\end{displaymath} (18)

Dies hat die Form einer Kontinuitätsgleichung $\frac{\partial\rho}{\partial t}+div\overline{j}=0$ mit der Wahrscheinlichkeitsdichte $\rho$ und dem Wahrscheinlichkeitsstrom j.
Betrachtet man jedoch $\rho$, so stellt man fest, daß $\rho$ nicht positiv definit ist. Die Klein-Gordon-Gleichung ermöglicht also keine Wahrscheinlichkeitsinterpretation. Am physikalischen Sinn der K-G-Gleichung wurde lange gezweifelt.

Die Dirac-Gleichung

Dirac suchte 1928 eine Gleichung der Form $i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi=H\Psi$, da diese Gleichung linear in der Zeit ist, versuchte er den Hamiltonoperator linear in den zeitlichen Ableitungen zu formulieren.
Er benutzte folgenden Ansatz:

 \begin{displaymath}i\hbar\frac{\partial\Psi}{\partial t}=\frac{\hbar c}{i}\left(...
...pha_{3}\frac{\partial\psi}{\partial x^3}\right)+\beta mc^2\Psi
\end{displaymath} (19)

Dabei können die $\alpha_{i}$ nicht einfach Zahlen sein, da die Gleichung 19 sonst nicht einmal gegenüber räumlicher Drehung invariant wäre. Infolgedessen kann auch die Wellenfunktion $ \Psi $ nicht skalar sein.
Dirac schlug nun vor, die Gleichung als Matrix-Gleichung zu interpretieren. Die Wellenfunktion $ \Psi $ wird als Spaltenmatrix mit N Komponenten geschrieben:

\begin{displaymath}\Psi = \left\lbrack\begin{array}{c}\Psi_{1} \\ \vdots \\ \Psi_{N} \end{array} \right\rbrack \end{displaymath}

Die Matrizen $\alpha_{i},\beta$ sind also $N\times N$ Matrizen.
Gleichung 19 wird also ersetzt durch N gekoppelte Gleichungen 1. Ordnung.

\begin{displaymath}i\hbar\partial_{t}\Psi_{\sigma}=\frac{\hbar c}{i}\sum_{\tau=1...
...au}mc^2\Psi_{\tau} =\sum_{\tau=1}^{N}H_{\sigma\tau}\Psi_{\tau}
\end{displaymath} (20)

Als Vereinfachung lassen wir im folgenden die Indizes weg, die Gleichung sieht wieder aus wie Gleichung 19, muss aber als Matrix-Gleichung interpretiert werden.
Berechnung der $\alpha_{i},\beta$: Wenn die Gleichung als Ausgangspunkt dienen soll, muß sie die richtige Energie-Impuls-Beziehung liefern: E2=p2m2+m2 c4.
Außerdem muß sie wie die Klein-Gordon-Gleichung eine Kontinuitätsgleichung liefern und dabei eine Wahrscheinlichkeitsinterpretation ermöglichen. Im übrigen bleibt die Forderung nach Lorentz-Kovarianz bestehen.
Wenn Gleichung 19 die richtige Energie-Impuls-Beziehung liefern soll, muß jede Komponente $\Psi_{\sigma}$ von $ \Psi $ die Klein-Gordon-Gleichung erfüllen, also:

\begin{displaymath}-\hbar^2\partial_{t}^{2}\Psi_{\sigma}=\left(-\hbar^2 c^2 \nabla^2+m^2 c^4 \right)\Psi_{\sigma} \end{displaymath}

Quadriert man Gleichung 19, so liefert dies:

\begin{displaymath}-\hbar^2\partial_{t}^{2}\Psi=-\hbar^2 c^2\sum_{i,j=1}^{3}\fra...
...}\right)\frac{\partial \Psi}{\partial x_{i}}+\beta^2m^2c^4\Psi \end{displaymath}

$ \Rightarrow $für $\alpha_{i},\beta$:

\begin{eqnarray*}\alpha_{i}\alpha_{k}+\alpha_{k}\alpha_{i}=2\delta_{ik} \\ \alph...
...}\beta +\beta\alpha_{i} = 0 \\ \beta^2=\alpha_{i}^2=\underline 1
\end{eqnarray*}


weitere Eigenschaften:
$\alpha_{i},\beta$ müssen hermitesch sein
Eigenwerte von $\alpha_{i},\beta=\pm1$, da $\alpha_{i}^2=\beta^2=\underline 1$
Spur von $\alpha_{i},\beta=0$, da $Sp(\alpha_{i})=Sp(\beta^2\alpha_{i})=Sp(\beta\alpha_{i}\beta)=-Sp(\alpha_{i})=0$
Da die Spur gerade die Summe der Eigenwerte ist, muß die Anzahl der positiven und negativen Eigenwerte gleich sein $ \Rightarrow $ N ist gerade. Dabei ist N>2, da man bei N=2 neben der Einheitsmatrix nur drei miteinander antikommutierende Matrizen finden kann, nähmlich die Pauli-Matrizen.

\begin{displaymath}\sigma_{1}= \left(\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{ar...
...\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{array} \right) \end{displaymath}

Die kleinste Dimension, die die obigen Forderungen an $\alpha_{i},\beta$ erfüllt ist N=4.
Eine spezielle explizite Darstellung der Matrizen lautet:

\begin{displaymath}\alpha_{i}=\left\lbrack\begin{array}{cc} 0 & \sigma_{i} \\ \s...
...erline 1 & 0 \\ 0 & -\underline 1 \\ \end{array} \right\rbrack \end{displaymath}

Im folgenden Schritt konstruieren wir nun wie bei der Klein-Gordon-Gleichung ein differentielles Stromerhaltungsgesetz. Dazu definieren wir $\Psi^{\dagger}=(\Psi_{1}^{*}, \ldots, \Psi_{4}^{*})$ und multiplizieren Gleichung 19 von links mit $ \Psi^{*} $.

 \begin{displaymath}i\hbar\Psi^{\dagger}\frac{\partial\Psi}{\partial t}\;=\;\frac...
...{\partial}{\partial x^{k}}\Psi\;+\;mc^2\Psi^{\dagger}\beta\Psi
\end{displaymath} (21)

Anschließend multiplizieren wir das hermitesch konjugierte von Gleichung 19 von rechts mit $ \Psi $:

 \begin{displaymath}-i\hbar\frac{\partial\Psi^{\dagger}}{\partial t}\Psi\;=\;-\fr...
...er}}{\partial x^{k}}\alpha_{k}\Psi+mc^2\Psi^{\dagger}\beta\Psi
\end{displaymath} (22)

Durch Substraktion von Gleichung 22 von Gleichung 22 erhalten wir:

\begin{displaymath}i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi^{\dagger}\Psi\;=\;\sum_...
...tial}{\partial x^{k}}\left(\Psi^{\dagger}\alpha_{k}\Psi\right) \end{displaymath}

oder

 \begin{displaymath}\frac{\partial}{\partial t}\rho+div\bf {j}\;=\;0
\end{displaymath} (23)

mit der Wahrscheinlichkeitsdichte

\begin{displaymath}\rho\;=\;\Psi^{\dagger}\Psi=\sum_{\sigma=1}^{4}\Psi_{\sigma}^{*}\Psi_{\sigma}
\end{displaymath} (24)

und dem dreikomponentigen Wahrscheinlichkeitsstrom

\begin{displaymath}j^{k}\;=\;c\Psi^{\dagger}\alpha_{k}\Psi
\end{displaymath} (25)

Durch Integration von Gleichung 23 über den ganzen Raum erhält man unter Verwendung des Greenschen Satzes:

\begin{displaymath}\frac{\partial}{\partial t}\int\Psi^{\dagger}\Psi d^{3}\!x\;=\;0 \end{displaymath}

Was die Interpretation von $\rho\;=\;\Psi^{\dagger}\Psi$ als positiv definite Wahrscheinlichkeitsdichte rechtfertigt.

Lorentzkovariante Form der Diracgleichung

Für eine lorentzkovariante Formulierung schreiben wir die Diracgleichung wie in der speziellen Relativitätstheorie mit Lorentzvierervektoren.

Diracgleichung in Vierervektorschreibweise

Bisher benutzten wir die Diracgleichung in der Form:

 \begin{displaymath}i\hbar\partial_{t}\Psi=\frac{\hbar
c}{i}\underline{\alpha}\cdot\underline{\partial_{x}}\Psi+\beta mc^2\Psi
\end{displaymath} (26)

Gleichung26 multiplizieren wir von links mit $\frac{\beta}{c}$ und identifizieren die Zeitableitung mit der Ableitung nach der x0-Komponente eines Vierervektors $\partial_{t}=\frac{1}{c}\partial_{x^0}$.

\begin{displaymath}i\hbar(\underbrace{\beta}_{\gamma_{0}}\partial_{x^0}+
\under...
...ace{\beta\alpha_{3}}_{\gamma_{3}}\partial_{x^3})\Psi -mc\Psi=0
\end{displaymath} (27)

Einschub: Algebra der $\gamma $

Für die $\gamma^\mu$ gilt die folgende Algebra.

 \begin{displaymath}\gamma^\mu\gamma^\nu+\gamma^\nu\gamma^\mu=2g^{\mu\nu}\underline{1}
\end{displaymath} (28)

Das läßt sich leicht nachrechnen, wenn man die Algebra der Paulimatrizen verwendet:

\begin{displaymath}\sigma_{k}^2=\underline{1} \; \;
\sigma_{k}\sigma_{l}=-\sigma_{l}\sigma_{k}=i\sigma_{m} \;\mbox{k,l,m
zyklisch}
\end{displaymath} (29)

Weitere Eigenschaften der $\gamma^\mu$

1.
$(\gamma^i)^2=-\underline{1} \; \; i=1,2,3$
$\gamma^i \; \; i=1,2,3 $ sind antihermitesch und unitär.
2.

\begin{displaymath}\gamma^0=\left (
\begin{array}{ll}
1 & 0^{T} \\
0 & -1
\end{array}\right )\;\end{displaymath}

Beweis für 1.: $\gamma^{i\dagger}=(\beta\alpha_{i})^\dagger=\alpha_{i}^\dagger\beta^\dagger=
\alpha_{i}\beta=-\beta\alpha_{i}=-\gamma^i$
Da die $\alpha_{i}$ hermitesch sind.

Abkürzung mit Feynman-dagger

Als weiter verkürzende Schreibweise führen wir hier noch den sogenannten Feynman-dagger ein.

\begin{displaymath}\breve{x}:=\gamma^\mu x_{\mu}=g_{\mu\nu}\gamma^\mu x^\nu=\gamma^0
x^0-{\underline{\gamma}\cdot\underline{x}}\end{displaymath}

Und genauso:

\begin{displaymath}\breve{\nabla}=\gamma^\mu\frac{\partial}{\partial x^\mu}=
\f...
...t}+{\underline{\gamma}\cdot\underline{\nabla}}
\;\;\mbox{bzw.}\end{displaymath}


\begin{displaymath}\breve{p}=\gamma^\mu p_{\mu}=i\hbar\breve{\nabla}\end{displaymath}

Dadurch verkürzt sich die Diracgleichung zu:

\begin{displaymath}(i\hbar\breve{\nabla}-m_{0}c)\Psi=0 \; \; \mbox{bzw. }\;\;
(\breve{p}-m_{0}c)\Psi=0
\end{displaymath} (30)

Formulierung der Kovarianz

Ohne die Lorentzkovarianz selbst zu beweisen, wollen wir hier nochmal formulieren, was Lorentzvarianz im Falle der Diracgleichung bedeutet.

Ist $\Psi(x)\;$ eine Lösung der Diracgleichung im ungestrichenen System A, so muß im gestrichenen System B gelten:

\begin{displaymath}(i\hbar {\gamma}^\mu\frac{\partial}{\partial
x^{\mu\prime}})\Psi^\prime(x^\prime)=0
\end{displaymath} (31)

Zudem muß eine explizite Vorschrift existieren, die es gestattet $\Psi^\prime(x^\prime)\;$ aus der Lösung $\Psi(x)\;$ zu berechnen.

Es läßt sich dann zeigen, daß die $\gamma^\mu$ unitär äquivalent zu den $\gamma^\mu$ sind.

Bilineare Kovarianten

Aus Produktbildung der $\gamma $-Matrizen kann man 16 linear unabhängige $4\times 4$-Matrizen erzeugen, die damit eine Basis der $4\times 4$-Matrizen bilden.

Wir geben jetzt diese 16 Matrizen explizit an und beweisen ihre lineare Unabhängigkeit. Zunächst definieren wir noch den vollkommen antisymmetrischen Tensor zweiter Stufe $\sigma_{\mu\nu}$. Dieser Tensor tritt bei der Betrachtung einer eigentlichen Lorentztransformation der Diracgleichung auf.


\begin{displaymath}\sigma_{\mu\nu}:=\frac{i}{2}[\gamma_{\mu},\gamma_{\nu}]=
\frac{i}{2}(\gamma_{\mu}\gamma_{\nu}-\gamma_{\nu}\gamma_{\mu})
\end{displaymath} (32)

Die Elemente des Tensors lassen sich leicht mit Hilfe der Algebra für die Paulimatrizen berechnen.

Wir geben jetzt die 16 Matrizen mit ihren Bezeichnungen, die sie nach ihrem Transformationsverhalten bekommen, und mit der Numerierung, wie wir sie im Beweis der linearen Unabhängigkeit verwenden.


\begin{displaymath}\Gamma^S:=\underline{1}=\Gamma^1\end{displaymath}


\begin{displaymath}{\Gamma^V}_{\mu}:=\gamma_{mu}\end{displaymath}

bzw.


\begin{displaymath}\Gamma^2=\left (
\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{arr...
...}{ll}
0 & \sigma_{3} \\
-\sigma_{3} & 0
\end{array}\right )\;\end{displaymath}



\begin{displaymath}\Gamma^{T}_{\mu\nu}:=\sigma_{\mu\nu}\end{displaymath}

bzw.


\begin{displaymath}\Gamma^6=\sigma_{01}=i\left (
\begin{array}{cc}
0 & \sigma_{1...
...y}{cc}
0 & \sigma_{3} \\
\sigma_{3} & 0
\end{array}\right )\;\end{displaymath}


\begin{displaymath}\Gamma^9=\sigma_{12}=\left (
\begin{array}{cc}
\sigma_{3} & 0...
...y}{cc}
\sigma_{1} & 0 \\
0 & \sigma_{1}
\end{array}\right )\;\end{displaymath}



\begin{displaymath}\Gamma^{P}:=i\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3:=\gamma^5=\gamm...
...gin{array}{ll}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{array}\right )=\Gamma^{12}\end{displaymath}



\begin{displaymath}\Gamma^{A}_{\mu}:=\gamma^5\gamma_{\mu}\end{displaymath}

bzw.

$\Gamma^{13}=\left (
\begin{array}{ll}
0 & -1 \\
1 & 0
\end{array}\right )\;$ $\Gamma^{14}=\left (
\begin{array}{ll}
-\sigma_{1} & 0 \\
0 & \sigma_{1}
\end{array}\right )\;$ $\Gamma^{15}=\left (
\begin{array}{ll}
-\sigma_{2} & 0 \\
0 & \sigma_{2}
\end{array}\right )\;$ $\Gamma^{16}=\left (
\begin{array}{ll}
-\sigma_{3} & 0 \\
0 & \sigma_{3}
\end{array}\right )\;$

Die Bezeichnung $\gamma^5$ ist noch ein historisches Relikt aus der Zeit, während der die Komponenten der Lorentzvierervektoren von 1-4 durchnumeriert wurden und x4=ict die imaginäre Zeitachse war.

Beweis der linearen Unabhängigkeit der Gamma-Matrizen in vier Schritten.

1.

\begin{displaymath}(\Gamma^n)^2=+-\underline{1} \;\;\; \forall \; n\end{displaymath}

Nachrechnen und $\sigma_{i}^2=\underline{1}$ benutzen!
2.

\begin{displaymath}\forall \; \Gamma^n \;\mbox{au\ss{}er }\; \Gamma^1 \; \exists \;
\Gamma^m :\; \; \Gamma^n\Gamma^m=-\Gamma^m\Gamma^n\end{displaymath}

Auch hier erfolgt der Beweis durch Nachrechnen. Um dem Leser die Arbeit zu erleichtern, geben wir eine Lösung an.

 
Tabelle: Mögliche m, die die Behauptung 2. erfüllen
n 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
m 3 2 2 2 2 2 2 14 14 14 2 2 9 9 9

Daraus ergibt sich für die Spur (außer für $\Gamma^1$):

\begin{displaymath}\pm
Sp\Gamma^n \stackrel{wg.1.} {=}Sp(\Gamma^n(\Gamma^m)^2)...
..._{B}) \stackrel{Sp(AB)=Sp(BA)}{=}
-Sp(\Gamma^n(\Gamma^m)^2)\;\end{displaymath}


\begin{displaymath}\Rightarrow \; Sp\Gamma^n=0 \; \; \forall \; n \;\mbox{au\ss{}er}
\; n=1 \end{displaymath}

3.

\begin{displaymath}\forall \; a,b\neq 1 \; \exists \; n\neq 1 \; :
\Gamma^a\Gamma^b=c\Gamma^n \; \; \mbox{c komplex}\end{displaymath}

Auch hier der Beweis durch Nachrechnen, z.B. für a=12, b=9 ist n=4 und $c=\frac{1}{i}$.
4.
Beweis der linearen Unabhängigkeit:
Annahme: $\sum_{n=1}^{16}a_{n}\Gamma^n=0 $ von rechts mit $\Gamma^m$ multipliziert.

\begin{displaymath}\stackrel{(\Gamma^m)^2=\pm 1}{\Longrightarrow}\; \;
\pm a_{m}\underline{1}+\sum_{n\neq
m}a_{n}{\Gamma^n\Gamma^m}=0 \; \end{displaymath}


\begin{displaymath}\stackrel{Sp(\cdot)}{\Longrightarrow} \; \;
\pm 4a_{m}+\sum_{n\neq
m}a_{n}Sp(\underbrace{\Gamma^n\Gamma^m}_{=c\Gamma^a})=0\end{displaymath}


\begin{displaymath}\stackrel{Sp\Gamma^a=0}{\Longrightarrow} \; \;
\pm 4a_{m}=0 ...
...{m}=0 \; \; \mbox{da} \;
\Gamma^a\neq \Gamma^1 \; \mbox{ist.}\end{displaymath}

Aus der Betrachtung der eigentlichen Lorentztransformation der Diracgleichung ergibt sich, daß physikalische Observable bilinear in $\Psi(x)\;$ bzw. eine gerade Potenz davon sein müssen. Deshalb betrachen wir jetzt noch das Verhalten bei einer Lorentztransformation der bilinearen Form $\overline{\Psi}(x)\Gamma^n\Psi(x)\;$. Wobei $\overline{\Psi}(x)=\Psi^\dagger
\gamma_{0}$ der sogenannte adjungierte Spinor ist, der auch im Beweis der Lorentzkovarianz der Diracgleichung unter eigentlichnen Lorentztransformationen auftritt.

$\Gamma^{S}$ transformiert sich wie ein Skalar:

\begin{displaymath}\overline{\Psi}^\prime (x^\prime )\Gamma^1\Psi^\prime (x^\prime
)=\overline{\Psi}(x)\Psi(x)\;\end{displaymath}

$\Gamma_{\mu}^{V}$ transformieren sich wie Lorentzvektoren:

\begin{displaymath}\overline{\Psi}^\prime (x^\prime )\gamma^\mu\Psi^\prime (x^\prime
)=a^\nu_{\mu}\overline{\Psi}(x)\gamma^\mu\Psi(x)\;\end{displaymath}

$\Gamma^{T}_{\mu\nu}$ transformiert sich wie ein Lorentztensor 2.Stufe::

\begin{displaymath}\overline{\Psi}^\prime (x^\prime )\sigma^{\mu\nu}\Psi^\prime ...
...ha}a^\nu_{\beta}\overline{\Psi}(x)\sigma^{\alpha\beta}\Psi(x)\;\end{displaymath}

$\Gamma^{P}_{\mu}$ transformieren sich wie Pseudovektoren:

\begin{displaymath}\overline{\Psi}^\prime (x^\prime )\gamma^5\gamma^\mu\Psi^\pri...
...a\vert a^\nu_{\mu}\overline{\Psi}(x)\gamma_5\gamma^\mu\Psi(x)\;\end{displaymath}

$\Gamma^A$ transformiert sich wie ein Pseudoskalar:

\begin{displaymath}\overline{\Psi}^\prime (x^\prime )\gamma^5\Psi^\prime (x^\prime
)=det\vert a\vert\overline{\Psi}(x)\gamma_{5}\Psi(x)\;\end{displaymath}

Was für Erkenntnisse liefert uns das über die Diracgleichung? Die allgemeinste Form der Diracgleichung ist $(\cdot)\Psi=0$, wobei der Operator in der Klammer ein Lorentzskalar sein muß. Um dies zu erreichen hatten wir bereits auf den Impulsoperator $p_{\mu}$ (ein Lorentzvektor) den Lorentzvektor $\gamma^\mu$ angewendet. Damit wurde $\breve{p}=\gamma^\mu p_{\mu}$ zum Lorentzskalar. Für in freies massebehaftetes Teilchen führt das zu:

\begin{displaymath}(\breve{p}-\underbrace{\underline{1}m_{0}c}_{spez.skal. Pot.})\Psi=0\end{displaymath}

Der Masseterm ist schon ein spezielles skalares Potential. Wenn wir nun weitere äußere Felder einführen, müssen auch diese sich in der Diracfgleichung wie Lorentzskalare transformieren. Aus den obigen Überlegungen ergibt sich, daß es nur 5 Formen für diese Felder geben kann: Das Feld muß dann wie $p_{\mu}$ von links mit dem entsprechen $\Gamma^i$ multipliziert werden, und wird damit zum Lorentzskalar Vcov.

Beispiele:

Skalares Potential $\Phi_{sc}(x)\;$ (z.B. Gravitationspotential)

\begin{displaymath}V_{cov}(x)=\frac{1}{c}\underline{1}\Phi_{sc}(x)\;\end{displaymath}

Vektorpotential (z.B. elektromagn. Vektorpotential) $A=(A^\mu)=(\Phi_{el},\underline{A})\;$

\begin{displaymath}V_{cov}(x)=\gamma^\mu A_{\mu}(x)\;\end{displaymath}

Tensorpotential (z.B. Anomales magnetisches Moment) $F_{\mu\nu}$ als elektromagnetischer Feldtensor.

\begin{displaymath}V_{cov}(x)=\sigma^{\mu\nu}F_{\mu\nu}(x)\;\end{displaymath}

Für Potentiale, die sich wie Pseudovektor oder Pseudoskalare transformieren, haben wir leider keine Beispiele. Falls der geneigte Leser auch hierfür Beispiele kennt: Bitte eine kurze mail an die Autoren.

Literatur

1
Bjorken, Drell 1995, ,,Relativistische Quantenmechanik``

Über dieses Dokument ...

Universität Oldenburg
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Die Dirac-Gleichung

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Copyright © 1993, 1994, 1995, 1996, 1997, Nikos Drakos, Computer Based Learning Unit, University of Leeds.

The command line arguments were:
latex2html -split 0 dirac.tex.

The translation was initiated by Eberhard Hilf on 2000-03-13


Footnotes

... formuliert:1
Vorfaktoren $i\hbar/(2m)$ zur Dimensionierung als Wahrscheinlichkeitsdichte

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Eberhard Hilf
2000-03-13