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Inhaltsverzeichnsis *

Einführung *

Foldy-Wouthuysen-Transformation im feldfreien Fall *

FW-Transformation unter Berücksichtigung äußerer Felder *

Bei der Herleitung der Dirac-Gleichung stellte sich heraus, daß Spin-1/2 Teilchen bei hohen Energien nicht mehr vollständig durch eine skalare Wellenfunktion beschrieben werden können. Aufgrund von Antiteilchenerzeugung und Spinumklappens müssen alle vier Wellenfunktionen in einem vierkomponentigen Spinor mitgenommen werden. Die Dirac-Theorie des Elektrons führt also bei hohen Energien aus einem Einteilchenbild heraus. Bei niedriger Energie werden die beiden Spinoren (Spin rauf / Spin runter) zu vorgegebener Energie groß gegenüber den Spinoren zur Energie umgekehrten Vorzeichens. Im nichtrelativistischen Grenzfall ist das Einteilchenbild also konsistent. Es stellt sich nun die Frage, ob es eine Darstellung gibt, in der dieses auch für große Teilchengeschwindigkeiten gilt. Man muß also eine Transformation finden, die die Spinoren zur nicht vorgegebenen Energie zum Verschwinden bringt. Diese Transformation heißt Foldy-Wouthuysen-Transformation.

  Foldy-Wouthuysen-Transformation im feldfreien Fall

Im folgenden sollen keine äußeren Felder und Potentiale vorhanden sein, wodurch es möglich ist, sofort zur Impulsdarstellung überzugehen (). Wie oben bereits erklärt, sollen in der neuen Darstellung positive und negative Energien nicht mehr miteinander verkoppelt werden. Dieses hat folgende Konsequenz. Die Transformation muß alle Operatoren vom Typ (ungerade Operatoren) aus der Dirac-Gleichung entfernen, während Operatoren vom Typ id und (gerade Operatoren) erhalten bleiben können. Zur Vollständigkeit sollen diese Operatoren nochmals angegeben werden:

Die freie Dirac-Gleichung soll an dieser Stelle ebenfalls angegeben werden:

Transformation des freien Hamiltonians

Eine weitere wichtige Eigenschaft des Transformationsoperators Û ist offensichtlich. Der Operator muß unitär sein, damit er aufgrund seiner isometrischen Eigenschaften die Norm der Wellenfunktionen nicht ändert. Es wird also folgender Ansatz gewählt:

Dann folgt unmittelbar:

Die Wellenfunktionen transformieren sich wie folgt:

Auch in der transformierten Darstellung soll der Hamilton-Operator als Zeitentwickler dienen:

Dann gilt nach Definition von f :

Für den transformierten Hamiltonian gilt also:

Es ist offensichtlich, daß die Zeitabhängigkeit von  wichtig ist. Im folgenden soll allerdings zeitunabhängig gewählt werden, woraus eine Zeitunabhängigkeit von Û resultiert. Der folgende Ansatz für  rechtfertigt sich im wesentlichen durch das Ergebnis:

Die Funktion w ist noch zu bestimmen und wird durch passende Wahl den richtigen Operator Û liefern. Nach (7) gilt dann:

Dieses läßt sich vereinfachen:

Wobei folgende, leicht nachzuprüfende Beziehung verwendet wurde:

Es gilt also mit (9):

wird nun in eine Reihe entwickelt:

Außerdem werden noch folgende Reihenentwicklungen benötigt:

Folgender Zusammenhang wird benötigt:

Damit läßt sich (12) wie folgt schreiben:

Für den transformierten Hamiltonian folgt dann:

Die Wahl für omega ist jetzt offensichtlich:

Diese Wahl für omega bringt den ungeraden Teil von zum Verschwinden und es gilt:

Im folgenden werden elementare trigonometrische Beziehungen verwendet:

Für den Hamiltonian gilt dann:

Der transformierte Hamiltonian besteht also im wesentlichen aus der relativistischen Energie, was nochmals bestätigt, daß der Hamilton-Operator ein Energieoperator ist.

Umformung des Transformationsoperators

Als nächstes soll der Transformationsoperator Û auf eine übersichtlichere Form gebracht werden, um dann die freien Lösungen der Dirac-Gleichung zu transformieren.

Mit (21) gilt:

Für Û folgt analog (16):

Jetzt werden weitere elementare Zusammenhänge benötigt:

Mit (23) folgt für den Sinus in (24):

Für den Kosinus in (24) folgt analog:

Für Û folgt dann:

Transformation der freien Lösungen der Dirac-Gleichung

In dieser Form läßt sich der Operator problemlos auf die freien Lösungen der Dirac-Gleichung anwenden. Dieses soll am Beispiel der Wellenfunktion zu positiver Energie und positiver Spin-Orientierung geschehen. Die freie Lösung in z-Richtung lautet:

Für die transformierte Wellenfunktion folgt dann:

Die Wellenfunktion ist also nach der Transformation tatsächlich einkomponentig. Die anderen transformierten Wellenfunktionen werden nur angegeben.

  FW-Transformation unter Berücksichtigung äußerer Felder

Es soll nun versucht werden, die oben vorgestellte Methode auf äußere Felder anzuwenden. Hierbei sollen elektromagnetische Felder verwendet werden.

Wie aus der Elektrodynamik bekannt, muß in diesem Fall zum generalisierten Impuls übergegangen werden:

wobei das bekannte Vektorpotential ist. Hinzu kommt noch ein elektrostatisches Potential, was zu folgendem neuen Hamilton-Operator führt:

Im feldfreien Fall konnte durch diagonalisiert werden. Dieses wird bei elektromagnetischen Feldern nicht gelingen, da der Hamiltonian zu kompliziert gebaut ist. Deshalb versucht man eine Aufteilung des Hamiltonians in gerade und ungerade Teile.

Jetzt wird nach einer Transformation Û, gesucht, die die ungeraden Anteile von  klein macht. Bei schwachen elektromagnetischen Feldern können diese dann vernachlässigt werden.

Der Ansatz für den Operator ist wieder , wobei der Operator  analog zu (8) wieder aus dem ungeraden Teil des Hamiltonians mal einem Vorfaktor bestehen soll.

Der transformierte Hamilton-Operator wird jetzt in eine Potenzreihe von entwickelt.

Ein Beweis für diese Kommutatorentwicklung wird nicht angegeben, da für unsere Zwecke nur die ersten vier Ordnungen dieser Entwicklung von Interesse sind. Alle weiteren Terme sind von zu hoher Größenordnung.

Berechnung der Kommutatoren

Im folgenden müssen die Kommutatoren ausgerechnet werden, wobei nur Terme der Größenordnung berücksichtigt werden.

Es werden folgende Beziehungen benötigt:

Erster Kommutator:

Zweiter Kommutator:

Dritter Kommutator:

Vierter Kommutator:

Das Zusammenfassen sämtlicher Terme (7),(8),(9),(10) liefert als Ergebnis:

Zusammenfassen und Ordnen nach geraden und ungeraden Potenzen liefert:

Beliebige Potenzen von geraden Operatoren sind wieder gerade Operatoren, während ungerade Operatoren nur in gerader Potenz gerade Operatoren liefern.

Der zweite Teil des transformierten Hamiltonians ist also ungerade und wird wie angekündigt vernachlässigt.

Es gilt also:

Umformung des transformierten Hamiltonians

Diese Form des Operators ist sehr unanschaulich und kann mit Hilfe bekannter Vektoridentitäten auf eine andre Form gebracht werden.

Folgendes wird benutzt:

Die Rechnung wird im folgenden nicht angegeben, da hierfür keine neuen Ideen mehr verwendet werden.

Das Ergebnis lautet:

Diskussion der Terme

An dieser Stelle sollen nun die einzelnen Terme diskutiert werden. Zunächst soll dazu überlegt werden, welche Effekte in dem transformierten Hamiltonian versteckt sein müssen.

Im feldfreien Fall bestand der Hamilton-Operator nach der Transformation aus der relativistischen Energie. Diese Energie muß auch bei Ankopplung äußerer Felder vorhanden sein. Als weiterer Effekt muß eine Kopplung des Elektrons an das -Feld vorhanden sein.

Aus der nichtrelativistischen Quantenmechanik weiß man, daß der Elektronenspin an -Felder koppeln kann. Dieses muß sich im Hamilton-Operator ebenfalls wiederfinden.

Die relativistische Energie steckt in der ersten Klammer und resultiert aus einer einfachen Taylorentwicklung.

Das Vektorpotential taucht im kubischen Term nicht auf, da es von zu hoher Ordnung in 1/c ist. Im quadratischen Term der Entwicklung verbirgt sich darüber hinaus der Zeemann-Effekt. Diesen erkennt man nach Vorgabe eines -Feldes in z-Richtung. Dann folgt:

Für den quadratischen Term folgt dann:

Dieser Terme waren in Quantenmechanik I für den Zeemann-Effekt verantwortlich.

Die elektrostatische Energie steckt wie gewohnt im elektrostatischen Potential f .

Im dritten Term steckt die magnetische Dipolenergie. Dieses ist folgendermaßen einzusehen. Es gilt:

die üblichen Pauli-Matrizen sind.  ist also eine 4-dimensionale Verallgemeinerung des bekannten Spin-Operators.

Zu einem Spin gehört allerdings auch immer ein magnetisches Moment:

Term 3 läßt sich damit wie folgt schreiben:

Dieser Ausdruck beschreibt dann die Kopplung des Elektronenspins an das -Feld.

Die nächsten beiden Terme beschreiben zusammen die Spin-Bahn-Kopplung, welche aus der nichtrelativistischen Quantenmechanik ebenfalls bekannt ist. Hier wurde der Effekt als eine Kopplung des Elektronenspins an ein selbstinduziertes -Feld verstanden. Es gilt:

Dieses führt auf ein Ergebnis, das um den Faktor 2 zu groß ist.

Folgende Argumentation liefert das richtige Ergebnis:

Nimmt man ein sphärisch symmetrisches Potential an, so folgt: womit Term 4 verschwindet. Term 5 läßt sich mit (19) folgendermaßen umformen:

Die obigen Überlegungen führen also zu einer richtigen Beschreibung der Spin-Bahn-WW.

Der letzte Term ist der sogenannte Darwin-Term und führt ohne nähere Erläuterung zu einer Anhebung der Energien der S-Niveaus.