Referat im Leistungsfach Physik

Sebastian Becker, Alexander Kreye
 

DIE SCHRÖDINGERGLEICHUNG

 

  1. De Broglie-Wellen/Elektronenbeugung
  2.  

    1924 schon sprach der französische Physiker Louis de Broglie von sogenannten Materiewellen. Aus theoretischen Erwägungen, insbesondere durch Symmetrieüberlegungen, vermutete er, dass auch sogenannten Teilchenstrahlen eine Wellenlänge zukomme.|#| 1927 ermittelten Davisson und Germer experimentell, dass die Elektronen genau in diejenigen Richtungen gestreut werden, in denen auch die Beugungsmaxima von Strahlen mit Wellencharakter zu erwarten wären.|#| De Broglie gab für die Wellenlänge der Materiewellen dieselbe Gleichung an wie für Photonen .|#|

  3. Schrödingers Wellenmechanik
  4.  

    Schrödinger entwickelte den Gedanken de Broglies entscheidend weiter. Die "klassische Mechanik" kann zwar in der Makrophysik die Bewegung von Materie mit vorzüglicher Genauigkeit berechnen, in dem sie materielle Punkte längs Bahnen bewegt denkt; und ebensogut vermag auch die "Strahlenoptik" die Bewegung des Lichtes vorzüglich wiederzugeben.|#| Diese Wiedergabe ist allerdings nur so lange möglich, wie die Abmessungen der Welle groß sind im Vergleich zur Wellenlänge des Lichtes. In kleinen Dimensionen ist diese "klassische Mechanik" nicht mehr anwendbar, da für materielle Teilchen ein ähnlicher Dualismus gilt, wie er beim Licht vorhanden ist. Denn prinzipiell und praktisch lässt sich in den Mikroausdehnungen von der Größenordnung der Wellenlänge, z.B. in den Spalten eines optischen Gitters, die raumzeitliche Bewegung des Lichtes nur als "Welle" verstehen. Schrödingers Vermutung, an die Stelle der "klassischen Mechanik" muss eine andere, der Wellenoptik entsprechende Mechanik treten (die heutige Wellenmechanik), erwies sich als richtig. Schrödinger entwickelte diese Wellenmechanik und wandte diese auf die Theorie vom Bau der Atomhüllen an. Die dabei erzielten Erfolge haben die früher schon erwähnte Auffassung weiter gefestigt, dass in der Welt der Atome und ihrer Bausteine grundlegend andere Gesetze als in der Welt der großen Körper gelten und dass dieser Bereich der Wirklichkeit insbesondere auch seine eigene Mechanik hat, die die "klassische Mechanik" in ähnlicher Weise einschließt, wie die Wellenoptik die Strahlenoptik umfasst.|#|

    In Schrödingers Ausdrucksweise lässt sich der dargelegte Zusammenhang auch durch folgende symbolische Gleichung wiedergeben: |#|

    In Schrödingers Wellenmechanik besteht folglich auch ein Pendant zu dem 2. Newtonschen Axiom der Mechanik . Das Axiom wird durch ein anderes Gesetz ersetzt, das man als Schrödingersche Wellengleichung bezeichnet.|#|

  5. Die Schrödingergleichung
 

Da nach de Broglie für Photonen und Elektronen dieselbe Gleichung (s.o.) gilt, liegt es nahe, Materiewellen durch dieselbe Art von Wellen zu deuten, nämlich durch Wahrscheinlichkeitswellen. Ihre Amplitude bezeichnen wir mit y (x,y,z), die zeitunabhängig ist; die Wellenfunktion wird durch die Funktion |#| gegeben. Das Amplitudenquadrat |y |² gibt die Wahrscheinlichkeitsdichte s für die Elektronenlokalisation in einem Raumbezirk D V im Zeitraum D t an.|#| Schrödinger stellte nun eine Gleichung auf, mit der man die Amplitude dieser Wellen für einzelne Teilchen oder Teilchensysteme ausrechnen kann, wenn man die Versuchsbedingungen kennt. Diese äußeren Versuchsbedingungen, wie zum Beispiel die Breite eines Beugungsspaltes oder die Teilchenenergie, bezeichnet man als Randbedingungen.|#|

Die Schrödinger-Gleichung lautet:|#|

 

Dabei sind:

x,y,z Raumkoordinaten

m Masse des Teilchens

E Gesamtenergie

U potentielle Energie

h Plancksches Wirkungsquantum

Dies ist die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung. Sie beschreibt dreidimensionale Materiewellen in atomaren Systemen. Für die Chemie ist sie für das Verhalten der Elektronen im Atom von Interesse.|#|

Lösungen dieser Gleichung entsprechen stationären Zuständen des Systems.|#|

Um die Differentialgleichung sinnvoll lösen zu können, müssen bestimmte Bedingungen erfüllt werden:|#|

 

1.) Welche Bedeutung hat diese Gleichung?

Sie beschreibt das Verhalten von raumbegrenzten Elektronenwellen.|#|

  1. Welche physikalische Bedeutung hat die y -Funktion?
Die y -Funktion hat keine direkte physikalische Bedeutung, sondern y 2 gibt die Wahrscheinlichkeitsdichte dafür an, ein Elektron an einer bestimmten Stelle im Raum zu finden. |#|